Каталог заданий ЕГЭ.
Результаты поиска - Математика (профиль).
Задания: B19

а) Может ли сумма четырех натуральных чисел равняться произведению этих же четырех чисел?
б) Может ли сумма четырех различных натуральных чисел равняться произведению этих же четырех чисел?
в) Может ли сумма 2015 различных положительных рациональных чисел равняться произведению этих же 2015 чисел?

Про натуральное число \(P\) известно, что сумма трех его наименьших натуральных делителей равна 8.
а) Найдите число \(P\), у которого сумма трех наибольших натуральных делителей равна 289.
б) Может ли сумма трех наибольших натуральных делителей числа \(P\) равняться 255?
в) Найдите все возможные числа \(P\), у которых сумма трех наибольших натуральных делителей не превосходит 100.

В трапеции \(OBCD\) с основаниями \(OD=a\) и \(BC=b\) параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: \(HM, GE, AR\) и \(KV\). Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй – делит ее на два подобных четырехугольника, третий – соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части.
А) Найдите длины этих отрезков.
Б) Докажите, что \(HM<GE<AR<KV\).

А) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет уравнение \(a+b=99\)?
Б) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет система уравнений \(\begin{cases} & a+b=99 \\ & c+d=99\end{cases}\)
В) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет уравнение \(a+b+c=99\)?

Решите уравнение:
А) \([2x] = {7x}\);
Б) \([2x] = 7x\);
В) \(2x = {7x}\).

[a] – целая часть числа а, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее а; {a} – дробная часть числа а, т.е. {a} = а – [a].

Найдите наименьшее натуральное число, у которого
а) произведение всех его делителей равно 131.
б) число (количество) его делителей равно 131.
в) сумма трёх меньших и наибольшего его делителя равна 131 .

а) Известно, что \(b=2013^{2013}+2\). Будут ли числа \(b^{3}+2\) и \(b^{2}+2\) взаимно простыми?
б) Найдите четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.
в) Найдите все числа вида \(\overline{xy9z}\) , которые делились бы на 132.

а) Известно, что \(35!=10333147966386144929*66651337523200000000\). Найдите цифру, заменённую звездочкой.
б) Делится ли число \(11^{n+2}+12^{2n+1}\) на \(133\) при любом натуральном \(n\)?
в) Найдите количество натуральных чисел, меньших \(133\), взаимно простых с числом \(133\).

На доске написано более 122, но менее 134 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -7 . Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 11, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -22.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

а) Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых корни уравнения \(x^{3}+9x^{2}+23x+a=0\) образуют арифметическую прогрессию.
б) Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \(8x^{4}-(a+37)x^{2}+2a^{2}=0\) имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
в) Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \(x^{8}-(109a+4)x^{4}+a^{4}=0\) имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
г) Числа \(cosx,- \frac{3 cos x ctg (2x)}{7}, sin x\) являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите \(x\) , если известно, что один из членов этой прогрессии равен \(-0,8\) .

Про натуральные числа а, b и с известно, что

\(10 \leqslant a \leqslant 24, 25 \leqslant b \leqslant 35, 60 \leqslant c \leqslant 70 \)

А) Может ли сумма чисел \(a\) и \(b\) равняться числу \(c\)?
Б) Может ли произведение чисел \(a\) и \(c\) равняться квадрату числа \(b\)?
В) Найдите наименьшее из возможных значений выражения \(\frac{abc}{ab+bc+ca}\)

А) Найдите наименьшее натуральное число такое, что оно не является делителем 100!
Б) Определите, на какую наибольшую степень 10 делится 100!
В) Найдите последнюю ненулевую цифру в записи числа, равного 100!

Используя каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по одному разу, составьте такие два пятизначных числа, чтобы
А) их разность была наибольшей;
Б) их разность была по модулю наименьшей;
В) их произведение было наибольшим.

А) В городе Глупове каждый житель – полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры – полицейским, а обыватели – ворам, а во всех остальных случаях жители города говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый сказал своему соседу справа: "Я – полицейский".Сколько в этом хороводе было обывателей?

Б) За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых – одного из двух типов: лжец (всегда лжет) или рыцарь (всегда говорит правду). Каждый из них утверждает:"Мои соседи слева и справа – разного типа". Сколько лжецов сидит за столом?

В) Хоккейная команда, насчитывающая 28 человек, состоит из рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут). Однажды каждый игрок сделал заявление. Первый сказал: "Количество рыцарей в команде – делитель 1". Второй сказал: "Количество рыцарей в команде – делитель 2" и т.д. до 28-го, который сказал: "Количество рыцарей в команде – делитель 28". Определите, сколько в команде рыцарей.

А) Между цифрами от 1 до 9 расставьте знаки арифметических действий и скобки (если нужно) так, чтобы получилось верное равенство:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

Б) Расставьте в каждую клетку по одной цифре так, чтобы выполнялись следующие равенства:

В) Можно ли из цифр от 1 до 9 составить такое девятизначное число, что число из двух его первых цифр делится на 2, из трёх первых цифр – делится на 3 и так далее, а само число делится на 9?

А) В клетках таблицы \(3х3\) расставлены числа \(-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\). Рассмотрим восемь сумм: суммы трёх чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы оказаться одинаковыми?
Б) В клетках таблицы \(3х3\) расставлены числа \(–1, 0\) и \(1\) (каждое из этих чисел встречается хотя бы один раз). Рассмотрим восемь сумм: суммы трёх чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы оказаться различными?
В) В клетках таблицы \(3х3\) расставлены девять различных натуральных чисел. Рассмотрим восемь произведений: произведения трёх чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти произведения оказаться одинаковыми?

Натуральные числа от 1 до 9 распределены на три группы: в 1-й группе два числа, во 2-й – три и в 3-й – четыре.
А) Могут ли произведения чисел в каждой группе оказаться одинаковыми?
Б) Могут ли суммы в каждой группе оказаться одинаковыми?
В) Из чисел 1-й группы составлено двузначное число А, из чисел 2-й группы составлено трехзначное число В, а из чисел 3-й группы составлено четырехзначное число С. Какое наибольшее значение может принимать сумма А+В+С?

а) На доске записаны числа: 4, 14, 24, ... , 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть еще два, потом – еще три, и, наконец, стереть еще четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?
б) В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.

а) Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой?
б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

а) На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

б) Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12 – 9 = 3. Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?

в) Каково наибольшее возможное значение этой величины?

Определите, имеют ли общие члены две последовательности
А) 3; 16; 29; 42;... и 2; 19; 36; 53;...
Б) 5; 16; 27; 38;... и 8; 19; 30; 41;...
В) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий 1; ...; 1000 и 9; ...; 999, если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0-0, 0-1, 0-2 и так далее до 6-6).

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что все полученные суммы равны.

А) Могло ли быть 2 кучки?
Б) Могло ли быть 5 кучек?
В) Какое наибольшее количество кучек могло быть?

А) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие две не били друг друга?
Б) На шахматной доске поставлены восемь ладей. Какое наибольшее число клеток может оказаться не под боем этих ладей?
В) На 64 клетках шахматной доски выписаны подряд числа от 1 до 64 (в верхнем ряду слева направо числа от 1 до 8, во втором ряду числа от 9 до 16 и т.д.) Восемь ладей поставлены так, что никакие две не бьют друг друга. Подсчитана сумма чисел, написанных на тех восьми клетках, на которых поставлены ладьи. Найдите все значения, которые может принимать эта сумма.

А) Существует ли натуральное число, которое при делении на 2015 дает в остатке 2014, а при делении на 2016 дает в остатке 2015?
Б) Существует ли натуральное число, которое при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 5 дает в остатке 4, а при делении на 10 дает в остатке 6?
В) Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, …, при делении на 9 дает в остатке 8, при делении на 10 дает в остатке 9.

Заданы числа: 1, 2, 3, …, 99, 100. Можно ли разбить эти числа на три группы так,  чтобы 
a) в каждой группе сумма чисел делилась на 3.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на 10. 
в) сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304? 

Последовательные нечетные числа сгруппированы следующим образом: (1); (3;5); (7;9;11);(13;15;17;19)...
а) Найти сумму чисел в десятой группе;
б) Найти сумму чисел в сотой группе;
в) Определить среди первых ста групп количество групп, в которых сумма чисел делится на 3.

а) Найти количество натуральных делителей числа \(N=5^{7} \cdot 7^{5}\)
б) Доказать, что число \(M= 5^{7} \cdot 7^{5} +1 \) является составным.
в) Натуральное число X имеет в качестве простых делителей 5, 7. Найти все такие x, у которых удесятеренное число натуральных делителей равно сумме количеств натуральных делителей чисел \(x^{2}\) и \(x^{3}\).

Натуральное число \(x\) имеет остаток \(5\) при делении на \(8\) и остаток \(41\) при делении \(x^{2}\) на \(64\).
а) Найти остаток при делении числа \(x\) на \(32\);
б) Найти сумму таких чисел \(x\), которые принадлежат отрезку \([2000, 3000]\).

Взяли последовательность первых 15 натуральных чисел.
а) Можно ли эти числа разбить на 5 групп так, что бы суммы чисел стоящих в одной группе имели разные остатки при делении на 5?
б) Можно ли эти числа разбить на 7 групп так, что бы суммы чисел входящих в одну группу имели разные остатки при делении на 7?
в) Можно ли эти числа упорядочить таким образом, что бы сумма любых трех последовательных чисел делилась на 5?

Заданы три бесконечных целочисленных возрастающих арифметических прогрессий, разность которых 3, 5 и 7, каждая из которых содержит хотя бы одно отрицательное число. Натуральное число «n» назовем хорошим, если оно принадлежит всем прогрессиям.
а) Доказать, что существует хотя бы одно хорошее число.
б) Можно ли утверждать, что для любых прогрессий существует хорошее число на отрезке [100; 200]?
в) Можно ли утверждать, что для любых прогрессий существует хорошее число на отрезке [200; 400]?

Назовем квадратное уравнение \(ax^{2}+bx+c=0\) с натуральными коэффициентами a ,b и c «простым», если a ,b и c не имеют кроме 1, других общих делителей.
а) Найти все значения b , для которых «простое» уравнение \(5x^{2}+bx+c=0\) имеет хотя бы одно целое решение,
б) Докажите, что «простое» уравнение \(3x^{2}+bx+c=0\) не имеет целых решений, если b кратно 3,
в) Докажите, что если \(b \geq 4\) и не кратно 3, найдется такое «с», что простое уравнение \(3x^{2}+bx+c=0\) имеет целое решение.

Дана последовательность \((a_{n}): a_{n}=n(n+1)+25\).
а) Докажите, что при любом натуральном \(n\) верно равенство \(a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+2\).
б) Определите, сколько четырехзначных чисел содержит эта последовательность.
в) Найдите все члены этой последовательности, являющиеся точными квадратами.