Каталог заданий ЕГЭ.
Результаты поиска - Математика (профиль).
Задания: B16

Точка \(M\) лежит на диаметре \(AB\) окружности с центром \(O\). \(C\) и \(D\) – точки окружности, расположенные по одну сторону от \(AB\), причем \(\angle CMA = \angle DMB\).
а) Докажите, что \(\angle OCM = \angle ODM \).
б) Найдите площадь четырехугольника \(COMD\), если известно, что \(OM = 4\), \(BM = 2\), \(\angle CMA=\angle DMB= 45^{\circ}\) .
Подробнее Узнать ответ Комментировать
На сторонах прямоугольного треугольника \(ABC\), как на диаметрах, построены полуокружности \(w, w_{1} и w_{2}\). (рис.).
а) Докажите, что площадь треугольника \(ABC\) равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями \(w\) и \(w_{1}\) и полуокружностями \(w\) и \(w_{2}\).
б) Пусть прямая \(l\) касается \(w_{1}\) в точке \(M\), а \(w_{2}\) в точке \(P\). Найдите длину отрезка \(MP\), если известно, что сумма площадей двух луночек равна \(49\).

Подробнее Узнать ответ Комментировать
Четырехугольник \(ABDC\) вписан в окружность. Прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\).
А) Докажите, что \(AD \cdot BP=BC \cdot DP\).
Б) Найдите площадь треугольника \(APC\), если известно, что \(BD=2 \cdot AC\), а площадь четырехугольника \(ABDC\) равна \(36\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
В равнобедренную трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне \(AB\) как на диаметре, второй раз пересекает большее основания \(AD\) в точке \(H\).
А) Докажите, что треугольник \(CHD\) равнобедренный.
Б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно \(6\) и \(6,5\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
В равнобокой описанной трапеции \(ABCD\), где угол \(B\) тупой, а \(BC\) и \(AD\) – основания, проведены: 1) биссектриса угла \(B\); 2) высота из вершины \(C)\); 3) прямая, параллельная \(AB)\) и проходящая через середину отрезка \(CD\).
А) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
Б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции \(ABCD\), если известно, что \(BC=8, AD=18\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Около окружности описана равнобедренная трапеция \(ABCD\). \(E\) и \(K\) – точки касания этой окружности с боковыми сторонами \(AD\) и \(BC\). Угол между основанием \(AB\) и боковой стороной \(AD\) трапеции равен \(60^{\circ}\).
а) Докажите, что \(EK\) параллельно \(AB\).
б) Найдите площадь трапеции \(ABKE\), если радиус окружности равен \(131\) .
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Дан треугольник \(ABC\). В нём проведены биссектрисы \(AM\) и \(BN\) , каждая из которых равна \(\frac{2772\sqrt{6}}{71}\).
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) - равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\) , если его основание равно \(132\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Внутри равностороннего треугольника \(ABC\) в произвольном месте поставлена точка \(M\).
а) Докажите, что сумма расстояний от точки \(M\) до сторон треугольника \(ABC\) равна высоте этого треугольника.
б) Найдите расстояние от точки \(M\) до стороны \(AB\), если расстояние от точки \(M\) до сторон \(AC\) и \(BC\) соответственно равны \(10 \sqrt{133}\) и \(3 \sqrt{133}\), а площадь треугольника \(ABC\) равна \(14364 \sqrt{3}\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Даны треугольники \(ABC\) и \(A_{1}B_{1}C_{1}\). Прямые \(AB\) и \(A_{1}B_{1}\) пересекаются в точке \(C_{2}\). Прямые \(AC\) и \(A_{1}C_{1}\) пересекаются в точке \(B_{2}\). Прямые \(BC\) и \(B_{1}C_{1}\) пересекаются в точке \(A_{2}\).
а) Докажите, что точки \(A_{2} , B_{2} , C_{2}\) лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение площади треугольника \(A_{1}B_{1}C_{1}\) к площади треугольника \(ABC\), если высоты треугольника \(ABC\) равны \(2, \frac{10}{11}, \frac{5}{7}\), а высоты треугольника \(A_{1}B_{1}C_{1}\) равны \(2, \frac{5}{3}, \frac{10}{9}\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Точка \(D\) лежит на стороне \(BC\) треугольника \(ABC\).
а) Докажите, что \(AD^{2}=AB^{2} \cdot \frac{CD}{BC} + AC^{2} \cdot \frac{BD}{BC} - CD \cdot BD\).
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если известно, что \(AB=14, AC=11, BD=3, AD=\sqrt{145}\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
В выпуклом четырехугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Площади треугольников \(AOB\) и \(COD\) равны.
А) Докажите, что точки \(A\) и \(D\) одинаково удалены от прямой \(BC\).
Б) Найдите площадь треугольника \(AOB\), если известно, что \(AB=13, BC=10,\) \(CD=15, DA=24\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Равносторонний треугольник \(ABC\) и три одинаковые окружности расположены таким образом, что каждая окружность касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.
А) Докажите, что точки попарного касания окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.
Б) Найдите радиус окружностей, если известно, что \(AB=4\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
На основании \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) взята точка \(E\). Окружности \(w_{1}\) и \(w_{2}\) , вписанные в треугольники \(ABE\) и \(CBE\), касаются прямой \(BE\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно.
А) Докажите, что \(KM = \frac{1}{2} \cdot |CE - AE|\).
Б) Определите, на сколько радиус окружности \(w_{2}\) больше радиуса окружности \(w_{1}\), если известно, что \(AE=9, CE=15\), а радиус вписанной в треугольник \(ABC\) окружности равен \(4\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
В остроугольном неравнобедренном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA_{1}\) и \(CC_{1}\). Точки \(A_{2}\) и \(C_{2}\) симметричны середине стороны \(AC\) относительно прямых \(BC\) и \(AB\) соответственно.
А) Докажите, что отрезки \(A_{1}A_{2}\) и \(C_{1}C_{2}\) лежат на параллельных прямых.
Б) Найдите расстояние между точками \(A_{2}\) и \(C_{2}\), если известно, что \(AB=7, BC=6, CA=5\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать

Из точки \(M\), взятой на окружности с центром в точке \(O\), на диаметры \(AB\) и \(CD\) опущены перпендикуляры \(MK\) и \(MP\) соответственно.

А) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек \(M, O, P, K\).

Б) Найдите площадь треугольника \(MKP\), если известно, что \(\angle MKP=30^{\circ}\), \(\angle AOC=15^{\circ}\), а радиус окружности равен \(4\).

Подробнее Узнать ответ Комментировать
В ромб вписана окружность \(\Theta\). Окружности \(w_{1}\) и \(w_{2}\) (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности \(\Theta\) и двух соседних сторон ромба.
А) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью \(\Theta\), составляет менее 80% площади ромба.
Б) Найдите отношение радиусов окружностей \(w_{1}\) и \(w_{2}\), если известно, что диагонали ромба относятся, как \(1:2\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка E, при этом BE=4, EA=5, BC=6.
А) Докажите, что углы BAC и BCE равны.
Б) Найдите площадь треугольника AEC, если известно, что угол ABC равен \(30^{\circ}\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
В окружность радиуса \(R\) вписан четырехугольник \(ABCD\), \(P\) – точка пересечения его диагоналей, \(AB=CD=5, AD>BC\). Высота , опущенная из точки \(B\) на сторону \(AD\), равна \(3\), а площадь треугольника \(ADP\) равна \(\frac{}{}\).
А) Докажите, что \(ABCD\) – равнобедренная трапеция
Б) Найдите стороны \(AD, BC\) и радиус окружности \(R\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Через вершины \(A,B,C\) параллелограмма \(ABCD\) со сторонами \(AB=3\) и \(BC=5\) проведена окружность, пересекающая прямую \(BD\) в точке \(E\), причем \(BE=9\).
А) Докажите, что \(BE>BD\)
Б) Найдите диагональ \(BD\)
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Две окружности имеют общий центр \(O\). На окружности большего радиуса выбрана точка \(F\).
А) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки \(F\) до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки \(F\), ни от выбора диаметра.
Б) Известно, что радиусы окружностей равны \(10\) и \(24\). Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка \(F\), тангенс угла \(F\) этого треугольника равен \(\frac{1}{4}\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
В равнобокую трапецию вписана окружность.
А) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции.
(Средним геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения \(\sqrt{ab}\) )
Б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.
Подробнее Узнать ответ Комментировать
А) Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, на которые он делится высотой, проведённой к гипотенузе, равны 4 и 5.
Подробнее Узнать ответ Комментировать
В прямоугольный треугольник \(ABC\) вписана окружность \( \omega\), касающаяся гипотенузы \(AB\) в точке \(M\). Точка \(O\) - центр описанной около треугольника \(ABC\) окружности. Касательная к окружности \(\omega\), проведенная из точки \(O\), пересекает сторону \(AC\) в точке \(P\).
А) Докажите, что площадь треугольника \(ABC\) равна произведению длин отрезков \(AM\) и \(BM\).
Б) Найдите площадь четырехугольника \(BCPO\), если известно, что \(AM=12, BM=5\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
В выпуклом четырехугольнике \(ABCD\) точки \(K, M, P, E\) – середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) соответственно.
А) Докажите, что площадь четырехугольника \(KMPE\) равна половине площади четырехугольника \(ABCD\).
Б) Найдите большую диагональ четырехугольника \(KMPE\), если известно, что \(AC=6, BD=8\), а сумма площадей треугольников \(AKE\) и \(CMP\) равна \(3 \sqrt{3}\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать

Окружность касается прямых \(AB\) и \(BC\) соответственно в точках \(D\) и \(E\). Точка \(A\) лежит между \(B\) и \(D\), а тока \(C\) – между \(B\) и \(E\). Точки \(A, D, E, C\) лежат на одной окружности.
  a) Доказать, что треугольники \(ABC\) и \(DBE\) подобны.
  б) Найти площадь \(ABC\), если \(AC = 8\) и радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), равен \(1\).

Подробнее Узнать ответ Комментировать
В остроугольном треугольнике \(ABC\) из вершин \(A\) и \(C\) опущены высоты \(AP\) и \(CQ\) на стороны \(BC\) и \(AB\). Известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(18\), площадь треугольника \(BPQ\) равна \(2\), а длина отрезка \(PQ\) равна \(2\sqrt{2}\) .
а) Доказать, что треугольники \(QBP \)и \(CBA\) подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Две окружности пересекаются в точках А и В так, что их центры лежат по разные стороны от отрезка АВ. Через точку А проведены касательные к этим окружностям АС и АЕ (точка С лежит на первой окружности, а точка Е – на второй). Площадь четырехугольника АСВЕ в 5 раз больше площади треугольника АВС, BD – биссектриса угла АВЕ (точка D лежит на хорде АЕ).
а) Найти отношение длин отрезков АВ и ВС.
б) Найти значения чисел p и q, если \( \overrightarrow{AB}=p \overrightarrow{BE} + q \overrightarrow{DE}\)
Подробнее Узнать ответ Комментировать
Равнобедренные треугольники \(ABC\) \((AB = BC)\) и \(KLM\) \((KM = LM)\) расположены так, что \(M\) – середина \(AC\), \(B\) – середина \(KL, KL || AC\). Точки \(R\) – точка пересечения \(KM\) и \(AB\), \(T\) – \(BC\) и \(ML\).
А) Доказать, что \(RT || AC\).
Б) Найти площадь треугольника \(ABC\), если \(\frac{KL}{AC}=3\) и площадь четырехугольника \(BTMR\) равна \(24\).

Подробнее Узнать ответ Комментировать

Вопрос B16 #3670 Математика (профиль) <- Есть решение

Отрезок АВ является диаметром окружности. Точки С и D окружности расположены по разные стороны от прямой АВ, длины хорд АС и BD равны 2 и 4 соответственно. Хорда CD пересекает АВ в точке Е, причем АЕ : ЕВ = 1 : 3.
а) Доказать, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
б) Найти радиус окружности.
Подробнее Узнать ответ Комментировать

Вопрос B16 #3794 Математика (профиль) <- Есть решение

В правильный треугольник со стороной a вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.
а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.
б) Найдите сумму площадей всех кругов.
Подробнее Узнать ответ Комментировать

Вопрос B16 #3813 Математика (профиль) <- Есть решение

Первая окружность вписана в треугольник АВС и касается ВС в точке М. Вторая окружность касается ВС в точке N и продолжений сторон АС и АВ.
а) Докажите, что длина МN равна модулю разности длин АВ и АС.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что радиусы окружностей относятся как 1:3, ВС=12, MN=4.
Подробнее Узнать ответ Комментировать

Вопрос B16 #3832 Математика (профиль) <- Есть решение

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка Р – середина стороны AF, точка К – середина стороны АВ.
а) Докажите, что площади четырехугольников DPFE и DPAK равны.
б) Найдите площадь общей части четырехугольников DPAK и DЕAС, если известно, что АВ=6.
Подробнее Узнать ответ Комментировать
0.0085