Каталог заданий ЕГЭ

Дана последовательность \((a_{n}): a_{n}=n(n+1)+25\).
а) Докажите, что при любом натуральном \(n\) верно равенство \(a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+2\).
б) Определите, сколько четырехзначных чисел содержит эта последовательность.
в) Найдите все члены этой последовательности, являющиеся точными квадратами.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных действительных корня.

1 апреля 2017 года Иван Арнольдович открыл в банке счёт «Управляй», вложив 1 млн. рублей сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 марта каждого последующего года.

1 апреля 2018 года и 1 апреля 2019 года Иван Арнольдович решил пополнять счёт на п тысяч рублей (п – целое число).

1 апреля 2020 года Иван Арнольдович планирует снять со своего счета все набежавшие к тому времени проценты.

1 апреля 2021 года Иван Арнольдович собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.

Найдите наименьшее значение п, при котором доход Ивана Арнольдовича от вложений в банк за эти 4 года окажется не менее 500 тыс. рублей.

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка Р – середина стороны AF, точка К – середина стороны АВ.
а) Докажите, что площади четырехугольников DPFE и DPAK равны.
б) Найдите площадь общей части четырехугольников DPAK и DЕAС, если известно, что АВ=6.

Решите неравенство

Дана правильная шестиугольная призма \(ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}\)
а) Докажите, что прямые \(CF\) и \(AE_{1}\) перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми \(CF\) и \(AE_{1}\), если \(AA_{1}=8, AB=2 \sqrt{3}\).

Дано уравнение \( \sqrt{1-sin^{2}x}=sinx\)
a) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \left [ \frac{5 \pi}{2}; 4 \pi \right ]\)

Найти наибольшее значение функции \(f(x)=cos \pi x - 6x\) на отрезке \( \left [ - \frac{2}{3}; 1 \right ]\)

Барсик съедает миску корма за 40 секунд, а Мурка такую же миску корма съедает за 1 минуту. Утром к миске с кормом подошел Барсик и начал есть, а через 10 секунд к этой же миске прибежала Мурка и стала помогать Барсику. Спустя 10 секунд после этого Мурка прогнала Барсика и продолжила доедать корм одна. Определите, за какое время была съедена миска корма? Ответ дайте в секундах.

Расстояние \(h\), пройденное свободно падающим телом, вычисляется по формуле: \(h(t)=\frac{gt^{2}}{2}\), где \(g = 10 м/с^{2}\) (ускорение свободного падения), \(t\) – время в секундах. На каком расстоянии от земли (в метрах) будет находиться тело, падающее с высоты 100 м, через 4 с после начала падения?